Limit Bilangan Euler

Pengertian

Bilangan Euler (e) adalah bilangan irasional yang bernilai 2,718281828… (dan seterusnya). Bilangan ini dinamakan bilangan Euler sebagai penghargaan kepada ahli matematika Swiss yang menemukannya, Leonhard Euler. Kita akan melihat kilas balik sejarah bilangan Euler dan mengapa bilangan ini sangat penting dalam matematika.

Dalam matematika, bilangan atau konstanta yang terkenal biasanya terkait dengan geometri atau tata ruang. Sebagai contoh, bilangan π berasal dari rasio keliling dan diameter lingkaran (π = keliling/diameter). Namun, tidak demikian dengan bilangan Euler (e). Bilangan Euler tidak berdasarkan kepada bentuk atau geometri, tetapi berdasarkan laju perubahan.

Hal lain yang menarik dari bilangan e adalah bila kita menggambar kurva y = ex, nilai luas di bawah kurva pada rentang x = -∞ hingga x = x1 akan bernilai ex1. Perhatikan gambar, kita misalkan x1 = 1, maka luasan di bawah kurva berwarna merah muda bernilai e. Selain itu, gradien garis singgung kurva pada titik x1 juga bernilai ex1. Perhatikan garis biru pada gambar, yang merupakan garis singgung y = ex di titik x = 1. Gradien garis singgung ini bernilai e. Ini dapat dilihat dari bertambahnya nilai x sebanyak 1 satuan, maka nilai y naik sebanyak e satuan. Oleh karenanya, fungsi ex menjadi “bahasa” natural untuk menggambarkan pertumbuhan karena luas kurva dan gradiennya juga bernilai ex. Dari situ, bilangan Euler dikenal memiliki nama lain, yakni bilangan natural.

Bilangan natural (e) memiliki besar

e = 2,71828182845904523536028747135……

Bilangan ini bisa diperoleh dari

Jika e disubtitusi dengan 1 maka

Akan tetapi, sebenarnya bilangan natural didefinisikan sebagai

contoh soal

Contoh 1

Tentukan

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{3x-2}$ .

Penyelesaian.

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{3x-2}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(1+\frac{-2}{x+1}\right)^{3x-2}.$

Apabila berturut-turut diambil

$f(x)=\displaystyle \frac{-2}{x+1}$ dan $g(x)=3x-2$

maka

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=0~\text{dan}~\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}g(x)=\infty.$

Berdasarkan teorema di atas diperoleh

$\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{3x-2}&=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(1+\frac{-2}{x+1}\right)^{3x-2}\\ &=\displaystyle e^{\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{-2}{x+1}\cdot (3x-2)}\\ &=e^{-6} \end{split}. \end{equation*}$

Contoh 2.

Tentukan

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} x^{\frac{x}{x^{2}-3x+2}}$ .
Penyelesaian.

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} x^{\frac{x}{x^{2}-3x+2}}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\left(1+(x-1)\right)^{\frac{x}{(x-1)(x-2)}}.$

Apabila diambil $f(x)=(x-1)$ dan $g(x)=\displaystyle \frac{x}{(x-1)(x-2)}$
maka

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}f(x)=0~\text{dan}~\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}g(x)=\pm\infty (\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)=\infty~\text{dan}~\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{+}}g(x)=-\infty).$

Berdasarkan teorema di atas diperoleh

$\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} x^{\frac{x}{x^{2}-3x+2}}&=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\left(1+(x-1)\right)^{\frac{x}{(x-1)(x-2)}}\\ &=\displaystyle e^{\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}(x-1)\cdot\frac{x}{(x-1)(x-2)}}\\ &\displaystyle e^{\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x}{x-2}}\\ &=e^{-1} \end{split} \end{equation*}$

Materi Mahasiswa

Cari Blog Ini

Limit Bilangan Euler

Label

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Interaksi Manusia & Komputer - Kebergunaan

Hardlink dan Softlink