Langsung ke konten utama

Limit Bilangan Euler

Pengertian
Bilangan Euler (e) adalah bilangan irasional yang bernilai 2,718281828… (dan seterusnya). Bilangan ini dinamakan bilangan Euler sebagai penghargaan kepada ahli matematika Swiss yang menemukannya, Leonhard Euler. Kita akan melihat kilas balik sejarah bilangan Euler dan mengapa bilangan ini sangat penting dalam matematika.
Dalam matematika, bilangan atau konstanta yang terkenal biasanya terkait dengan geometri atau tata ruang. Sebagai contoh, bilangan π berasal dari rasio keliling dan diameter lingkaran (π = keliling/diameter). Namun, tidak demikian dengan bilangan Euler (e). Bilangan Euler tidak berdasarkan kepada bentuk atau geometri, tetapi berdasarkan laju perubahan.
Hal lain yang menarik dari bilangan e adalah bila kita menggambar kurva y = ex, nilai luas di bawah kurva pada rentang x  = -∞ hingga x = x1 akan bernilai ex1. Perhatikan gambar, kita misalkan x1 = 1, maka luasan di bawah kurva berwarna merah muda bernilai e. Selain itu, gradien garis singgung kurva pada titik x1 juga bernilai ex1. Perhatikan garis biru pada gambar, yang merupakan garis singgung y = ex di titik x = 1. Gradien garis singgung ini bernilai e. Ini dapat dilihat dari bertambahnya nilai x sebanyak 1 satuan, maka nilai y naik sebanyak e satuan. Oleh karenanya, fungsi ex menjadi “bahasa” natural untuk menggambarkan pertumbuhan karena luas kurva dan gradiennya juga bernilai ex. Dari situ, bilangan Euler dikenal memiliki nama lain, yakni bilangan natural.
Bilangan natural (e) memiliki besar
e = 2,71828182845904523536028747135……
Bilangan ini bisa diperoleh dari

Jika e disubtitusi dengan 1 maka
Nilai e juga
Akan tetapi, sebenarnya bilangan natural didefinisikan sebagai
contoh soal
Contoh 1
Tentukan
 \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{3x-2}.
Penyelesaian.
\[\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{3x-2}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(1+\frac{-2}{x+1}\right)^{3x-2}.\]
Apabila berturut-turut diambil
 f(x)=\displaystyle \frac{-2}{x+1} dan g(x)=3x-2
 maka
\[\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=0~\text{dan}~\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}g(x)=\infty.\]

Berdasarkan teorema di atas diperoleh  
\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{3x-2}&=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \left(1+\frac{-2}{x+1}\right)^{3x-2}\\ &=\displaystyle e^{\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{-2}{x+1}\cdot (3x-2)}\\ &=e^{-6} \end{split}. \end{equation*}

Contoh 2. 
Tentukan
 \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} x^{\frac{x}{x^{2}-3x+2}}.
Penyelesaian.
\[\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} x^{\frac{x}{x^{2}-3x+2}}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\left(1+(x-1)\right)^{\frac{x}{(x-1)(x-2)}}.\]  
Apabila diambil f(x)=(x-1) dan g(x)=\displaystyle \frac{x}{(x-1)(x-2)}
maka

\[\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}f(x)=0~\text{dan}~\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}g(x)=\pm\infty (\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)=\infty~\text{dan}~\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{+}}g(x)=-\infty).\]
Berdasarkan teorema di atas diperoleh
\begin{equation*} \begin{split} \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} x^{\frac{x}{x^{2}-3x+2}}&=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\left(1+(x-1)\right)^{\frac{x}{(x-1)(x-2)}}\\ &=\displaystyle e^{\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}(x-1)\cdot\frac{x}{(x-1)(x-2)}}\\ &\displaystyle e^{\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x}{x-2}}\\ &=e^{-1} \end{split} \end{equation*}

Label:

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Sedikit cerita tentang pertemuan kali ini..

  Halo semuanya!! Balik lagi sama penulis, kali ini penulis ga bakal sharing materi tapi sharing cerita setelah uts. Ini merupakan cerita tentang perbaikan nilai uts dengan cara yang seru, bukan remedi, bukan kuis, tapi review soal uts kemaren, gimana sih caranya?? Nih penulis ceritain.. Kita bakal dikasi soal soal pilihan dosennya yang di ambil dari soal uts, disini kita menggunakan tata cara rebut rebutan, jadi yang jawab bakal dapet poin.. Disini pertanyaan memiliki bobot poin yang berbeda beda tergantung dari soal yang dipilih.. Disini mahasiswa di tuntut agar menjawab pertanyaan minimal 1 kali, sebagai penambah nilai uts, jadi sayang banget dong kalo ga jawab hehe.. Sayangnya di sini ga semua soal di ambil buat di jadiin poin ada juga soal yang bersifat wawasan yang tentunya jadi pemancing keaktifan berpikir mahasiswa. Disini juga ada soal yang bersifat mengecoh jadi mesti berhati hati dan teliti.. Selain itu untuk mahasiswa yang terlalu sering menjawab juga di batasi jadi ga ...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Bootloader

Pretest : 1. Sebutkan dan jelaskan macam-macam proses init level ! 2. Jelaskan pengertian dari Bootloader berdasarkan pemahaman anda ! 3. Sebutkan 2 bootloader yang paling sering digunakan dilinux ! 4. Jelaskan langkah - langkah untuk membuat user baru secara manual di linux (CentOS)! Jawab : 1.  Init dan Run Level Init merupakan inti semua proses yang akan dan sedang berlangsung. Init dapat dikonfigurasi melalu file yang terletak di  /etc/inittab . Run Level merupakan konfigurasi perangkat lunak dari sistem yang hanya akan membolehkan group proses tetap ada. Setiap proses akan melakukan penggandaan oleh init untuk setiap runlevel yang telah didefinisikan pada  /etc/inittab . Run Level terbagi menjadi 7 bagian, yaitu: 0 = Halt, yaitu mematikan sistem komputer 1 = Single User Mode, dalam modus ini kita bekerja sebagai root, biasanya digunakan untuk menangani masalah di Linux bila terjadi gagal boot. Single User Mode ini juga bisa dengan parameter  S  atau  s...
Posting Komentar
Baca selengkapnya

Limit Bentuk Tak Tentu 1

Limit Bentuk Tak Tentu (bag. 1) Pada limit fungsi trigonometri, telah dipelajari bahwa : Perhatikan bentuk limit ini untuk x→0, limit pembilang dan limit penyebutnya nol. Bentuk demikian dinamakan bentuk tak tentu 0/0. Kita mengenal tujuh macam bentuk tak tentu limit fungsi, yaitu : Berikut beberapa bentuk sekaligus contoh dalam integral tak tentu : 1.Bentuk tak tentu 0/0 : Cara penyelesaian :   Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat dicoba adalah menguraikan pembilang dan penyebut, menggunakan rumus trigonometri, merasionalkan bentuk pecahannya, dan sebagainya. Perhitungan limit bentuk tak tentu 0/0 diberikan dalam contoh berikut : Contoh Bentuk 0/0 : 2. Bentuk tak tentu  ∞/∞ : Cara penyelesaian :   Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat digunakan adalah merasionalkan bentuk pecahannya, memunculkan bentuk 1/x pangkat n, n bilanga...
Posting Komentar
Baca selengkapnya